Exercices types

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Contenu du cours

Exercice 1

Soit $(a,b)\in (\mathbb{R}^{+\star})^2$.

Montrer que si $a^2 + b^2 - 14ab=0$, alors $\ln{\left( \displaystyle\frac{a+b}{4}\right)} = \displaystyle\frac{1}{2} \left( \ln{a} + \ln{b} \right)$.

Exercice 2 Soit $(x,y)\in (\mathbb{R}^{+\star})^2$. Montrer que si $x\not=y$, alors $\ln{x} \not=\ln{y}$.

Exercice 3 Montrer qu'il est possible d'écrire la fonction exponentielle comme la somme d'une fonction paire $f$ et d'une fonction $g$ impaire.

Exercice 4

Montrer par récurrence que,  pour tout $n \in \mathbb{N}^{\star}, 1^3 + 2^3+...+n^3 = \left(\displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \right)^2$.